方差的计算公式(方差公式及其拓展公式)

知识大全 2022-08-01 14:36www.worldometers.cn知识大全

方差的概念与计算公式


例1 两人的5次测验成绩如下:


X: 50,100,100,60,50 E(X )=72;


Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72。


平均成绩相同,但X 不稳定,对平均值的偏离大。


方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。


单个偏离是


消除符号影响


方差即偏离平方的均值,记为D(X ):


 


直接计算公式分离散型和连续型,具体为:


这里是一个数。推导另一种计算公式


 


得到:“方差等于平方的均值减去均值的平方”,即



其中



分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差,方差描述波动程度。


 


二.方差的性质


1.设C为常数,则D(C) = 0(常数无波动);


2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);


证:


特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)


3.若X 、Y 相互独立,则


证:记




前面两项恰为 D(X )和D(Y ),第三项展开后为


 


当X、Y 相互独立时,



故第三项为零。


特别地


独立前提的逐项求和,可推广到有限项。


 


三.常用分布的方差


1.两点分布


2.二项分布


X ~ B ( n, p )


引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数,服从两点分布)



3.泊松分布(推导略)


4.均匀分布



另一计算过程为


5.指数分布(推导略)


6.正态分布(推导略)


~


正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度,即波动程度(随机波动),这与图形的特征是相符的。


例2 求上节例2的方差。


解 根据上节例2给出的分布律,计算得到

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