二阶微分方程(二阶微分方程一个根的通解公式

假如微分方程形式为y''-2*a*y'+a^2*y=0,那么它的特征方程为：

r^2-2*a*r+a^2=0,从而可以解得它的重根为r=a。

按照一般思维，很明显y=e^(ax)将是它的一个根；但对于二阶微分方程而言，因为要积分两次，所以应该有两个常数，解的一般形式应该为y=c1*y1+c2*y2;

现在我们假设一般解形式为y=e^(ax)*u(x) (其中u(x)是一个我们需要解的函数)

首先计算下:

y'=a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)

继续有:

y''=a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}+ a*e^(ax)*u'(x)+e^(ax)*u''(x)

将这个解代入原微分方程有：

a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}+ a*e^(ax)*u'(x)+e^(ax)*u''(x)

-2*a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}

+a^2*e^(ax)*u(x)=0

GO

消元有：

e^(ax)*u''(x)=0

因为e^(ax)不可能为0，所以u''(x)=0，这样u(x)=c1+c2*x