复合函数求导(复合函数导数公式大全)

1复合函数如何求导

规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；

2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；

拓展：

1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为： y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).

4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增； 增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

2复合函数求导法则

Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′

例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,

y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)

=(3x^2)/Ln(x^3)]

例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3

由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3

3复合函数性质是什么

复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

(1)单调性规律

如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么

若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．

(2)奇偶性规律

若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数．