二重积分习题(二重积分基础题)

1. 积分区域关于y轴对称，2x^3+3sinx/y 为x的奇函数，积分为0，则

原积分 I=∫∫<D>7dxdy=7π(4-1)=21π.

2. 积分区域关于x轴对称，cos(xy) 为y的偶函数;

积分区域关于y轴对称，cos(xy) 为x的偶函数.

记D1为第一象限的四分之一圆，则

原积分 I = 4∫∫<D1>[e^(x^2+y^2)cos(xy)]dxdy

= 4∫<0,π/2>dt∫<0,r>[e^(R^2)cos(R^2*sintcost)]RdR,

所求极限即

lim<r→0>4∫<0,π/2>dt∫<0,r>[e^(R^2)cos(R^2*sintcost)]RdR/(πr^2) (0/0型)

=lim<r→0>4∫<0,π/2>dt[e^(r^2)cos(r^2*sintcost)]r/(2πr)

=4∫<0,π/2>dt[1/(2π)]=1.